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2015年北京大学数学专业数学分析考研试题及答案

 

答案由哆嗒数学网的数学Geek们提供，如有疏漏，敬请各位指正。

感谢：天书、鼠阿大、龙凤呈祥、Daivid、微尘、Veer的大力支持

特别感谢上海交大的姚老师的指正。

 

1. 计算 .

2. 讨论广义积分 的敛散性.

3. 函数 在 可微吗? 证明你的结论.

4. 计算 , 这里 是曲线 从 到 .

5. 证明函数级数 在 一致收敛, 并且在 有连续导数.

6. , , . 证明序列 收敛并求其极限.

7. 函数 , 且对于任意 , . 证明: 没有极大值点.

8. 在 连续, 在 可导, 且 . . 证明: 必具备下述 两条性质中的一个:
(1) 任意 , 有 ;
(2) 存在 , 使得 .

9. 是 映射, , , , 且 在 处的 Jacobi 矩阵 的秩为 . 证明: 存在 , 以及 映射 , 使得 是非零向量, 且 .

10. 开集 , 是同胚映射, 且 在 上一致连续. 证明: .

 

 

 

参考答案：

 

1. 计算 .
由罗必塔法则有:

 

 

2. 讨论广义积分 的敛散性.

所以绝对收敛

 

3. 函数 $f
(x,y)(0,0)$ 可微吗? 证明你的结论.

解：不可微，证明如下

若在可微，则在的某邻域有:
存在使得
于是，得到。
，得到
于是，
但矛盾

 

 

4. 计算 , 这里 是曲线 从 到

 

解： 令为从到,为从到,则与构成单连通区域的边界。
于是由格林公式
,






最后的那个定积分，分部积分两次可得一方程，解得

 

5. 证明函数级数 在 一致收敛, 并且在 有连续
导数.

证： 由时，，由M判别法得到级数一致收敛。
在任意关于对称的闭区间上考察，
首先每个一般项可导，且，连续。
对于函数有，
说明单调递减趋于。
再注意到
于是,时有，
说明一致有界。
由狄利克雷判别法知，一般项求导后的级数一致收敛。
又逐项求导定理知，在这个闭区间上，原函数项级数可导，且导函数连续。
对任意 ，只需取，在闭区间做上述讨论即可。

 

 

6. , , . 证明序列 收敛并求其极限.

解： 注意到:，，于是。
注意到:
知的符号都与相同，说明单调,
而
从而有界,极限存在,记作,在递推式令得到:

因知有:
注意：在搞定和的上下界后，用上下极限的知识，可以迅速搞定。另外可以由数列的压缩性来证明极限的存在性。

 

7. 函数 , 且对于任意 , $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\dfrac
{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)\gt0f$ 没有极大值点。

证： 设在出取得极大值，则有。
那么在的某领域内有,
在这个邻域内使用由中值定理，则存在与之间的某数，
使得
得到
令,则，得到
同理可证。
于是。矛盾。

注意：利用黑塞矩阵相关手段，会有更简洁的表达。

 

8. 在 连续, 在 可导, 且 . . 证明: 必具备下述两条性质中的一个:
(1) 任意 , 有 ;
(2) 存在 , 使得 .

定义
令,有
若恒为，则满足条件(1)
否则存在,
现在只需证明存在，
由中值定理存在及满足：
及
因为异号，故中必有一个为正数

 

9. 是 映射, , , , 且 在 处的 Jacobi 矩阵 的秩为 . 证明: 存在 , 以及 映射 , 使得 是非零向量, 且。

 

证： 记，为的第个分量。
由于,所以存在一个二阶子式非零,不妨设
考虑映射
那么在处的雅可比行列式
记,根据局部的逆映射定理,存在邻域上的映射满足
因此存在的邻域使得$
\mathbf{f}\circ\mathbf{T}(\overrightarrow{y_{0}},x)=(\overrightarrow{y_{0}},x),\forall x\in I$
令映射
那么考虑
显然且,而且

 

 

10. 开集 , 是同胚映射, 且 在 上一致连续. 证明: .

证： 设,取，则存在中的点列收敛于。

由一致连续性，对给定，存在，当时，

于是存在自然数，当时，于是

说明柯西列，设。

得到。

即，矛盾。

 

感谢阅读。

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