证明所有的代数数构成一个数域的优雅初等证明

 

 

其中每个是有理数，分别是的根。

 

如何证明(分母始终不为零)是某个有理系数多项式方程的根？

 

就比较麻烦。

 

提纲:

1、 抽象代数证明

因为 是有限扩张，所以是代数扩张，所以都在这个扩域内，所以是代数数。

缺点：对大部分人来讲，抽象代数的概念过于高端。而且是存在性证明。没法指出是哪个方程的根。

 

2、 一般高等代数数的初等证明

设和是分别是全部根。

于是。 ，所以展开后每个次方的系数也是对称多项式。把这些对称多项式用,初等对称多项式表示，得到系数是有理数。而为中的一个根。

把换成同理。

 

缺点：过于暴力。如果要找具体的方程，过程似乎不太优雅。

 

方法3 推荐的优雅做法。

设的特征多项式相应为。比如用相伴矩阵

 

定义运算,对于矩阵,

 

就是把矩阵按中数字倍数放大然后拍成一个更大的矩阵。这实际上是张量积，可以不强调这一点，看成一个矩阵拼图游戏。

 

那么可以证明的特征值有，的特征值有