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素数又叫做质数，小学生都知道是什么意思。如果这位小学生对于数学的课外阅读还不错的话，很容易就能证明素数是无限的。
那么，这篇文章岂不是很水？再讲一个小学里总所周知的事？我们哆嗒数学网小编的回答：“是，也不是！”，我们的确在讨论一个简单的数学结论，但却在用不同的数学方法。方法可能涉及抽象代数、拓扑学以及集合论这种大学生都不一定会学习的方法。
文章受到《GÖDEL’S LOST LETTER AND P=NP》博客中文章的启发（WordPress上的博客，一般打不开），想和大家一起分享。
大学生看不懂的高级方法？这么任性？——不是任性，只是忍不住。
第一个方法，从简单的开始讲。小学生能看懂的就是欧几里得的在2000多年前提供的办法了。
假设只有有有限多个素数。设是全部个素数，令。则都不是的素因数。所以是有一个与都不同的素数。矛盾。
把欧几里得的这个办法做一些小修改，就是令前面的为，在做一些程度不大的改变，也可以证明素数是无限的。利用这个改变后的思想可以证明下面一个简单的命题——“有无穷多个型如的素数”。 证明过程是这样的，如果只有有限个互素，令。下面的讨论和前面差不多，首先都不是的素因数，所以的素因数只能是型如“”，这样两边除以的余数不一样，矛盾。
第二种办法，用到排列组合的知识，高中生能看懂，叫做数数法。考虑一个正整数,那么不大于的正整数取值方式有种。把每个与之间的正整数唯一地写成形式，其中的素因数都不超过次的。那么，就是说取值方式最多种，如果只有个素数，那么的取值方式最多。于是。当足够大时，不等式不可能成立。
热身完毕，进入高级模式。
方法三，抽象代数办法。如果只有有限个素理想，那么单扩张是唯一分解整环。但，矛盾。注意在这个环下不可分解，不是很显然的，了解抽象代数的读者可以试试证明它。
方法四，再来一个拓扑学的办法。在整数集合中，每个从走到的等差数列中所有的数做成一个集合。用这些集合做基，可以生成一个拓扑。令那么不仅是开集，它还是闭集，这是因为是一簇开集的并，即开集，于是补集是闭集。如果只有有限个素数得到，并集跑遍素数时，得到是闭集。但不是开集，矛盾。
方法五，集合论来了。在整数集合中，还是用每个从走到的等差数列中所有的数做成一个集合。用这些集合做成集簇。显然对有限交运算封闭，而且用方法四中的办法可以证明，对有可以写成有限个中成员的并。而且对于有限个，他们的并的补集不可能是非空有限集。这是因为，而每个是有限个中元素的并。再利用一下交并的分配率对有限交的封闭性，得到结果是是有限个的并，所以要么是无限集合，要么。这样，如果素数是有限集，令而，其中跑遍素数得到矛盾。
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