2014第55届国际数学奥林匹克(IMO)真题官方中文版(全6题完整高清版)

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第一天

设是一个无穷正整数列,

证明:存在唯一的整数使得:

设是一个整数.考虑由个单位正方形组成的棋盘.一种放置个棋子“车”的方案被称为是和平的.如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”.求最大的正整数,使得对任何一种和平放置个“车”的方案,都存在一个的正方形,它的个单位正方形里都没有“车”.

在凸四边形中.点是向引的垂线的垂足.点和点分别在边和边上,使得在三角形内部,且:

证明:直线和三角形的外接圆相切.

第二天

点和在锐角三角形的边上,满足且.点和分别在直线和上,使得是的中点,是的中点.
证明:直线和的交点在三角形的外接圆上.

对每一个正整数,开普敦银行都发行面值为的硬币.给定总额不超过的有限多个这样的硬币(面值不必两两不同),证明可以把他们分为至多100组,使得每一组中硬币面值之和最多是1.

平面上的一族直线被称为是处于一般位置的,如果其中没有两条直线平行,没有三条直线共点.一族处于一般位置的直线把平面分割成若干区域,我们把其中面积有限的区域称为这族直线的有限区域.

证明: 对于充分大的和任意处于一般位置的条直线,我们都可以把其中至少条直线染成蓝色,使得每一个有限区域的边界都不全是蓝色的.

注:如果你的答卷上证明的是(而不是),那么将会根据常数的值给分.

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