2015年国际数学奥林匹克数学竞赛(IMO)试题

 

 

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第1题 我们称平面上一个有限点集是平衡的，如果对中任意两个不同的点，都存在中一点 ，满足。我们称是无中心的，如果对中任意三个不同的点，都不存在中一点 ，满足。
(a)证明：对每个整数，均存在一个由个点构成的平衡点集。
(b)确定所有的整数，使得存在一个由个点构成的平衡且无中心的点集。



第2题 确定所有三元正整数组，使得

中每个数都是的方幂。
(的方幂是指形如的整数，其中是一个非负整数。)



第3题 在锐角三角形中，，设是它的外接圆，是它的垂心，是由顶点所引高的垂足，是边的中点。是上一点，使得，是上一点，使得。已知点互不相同，且按此顺序排列在上。
证明：三角形的外接圆和三角形的外接圆相切。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第4题 在三角形中，是其外接圆，是其外心。以为圆心的一个圆与线段交于两点和，使得点互不相同，并且按此顺序排列在直线上。设和是和的两个交点，并且使得点按此顺序排列在上。设是三角形的外接圆和线段的另一个交点。设是三角形外接圆和线段的另一个交点。
假设直线和不相同，且相交于点。证明：在直线上。



第5题 设是全体实数的集合。求所有的函数,满足对任意实数，都有




第6题 整数序列满足下列条件：
(i) 对每个整数，有；
(ii) 对任意整数，有。
证明：存在两个正整数和,使得

对所有满足的整数和均成立。

 

 

 

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